BROJNI SISTEMI

Digitalni računar operiše samo sa brojevima. Način na koji mašina operiše sa ovim brojevima zavisi od toga šta ovi brojevi predstavljaju i u kojem su obliku oni predstavljeni.

1. Uvod.

Brojni sistem je sistem pomoću koga se, kombinovanjem cifara, predstavljaju brojevi.

Brojni sistem koji čovek najčešće koristi je decimalni ili DEKADNI. Na primer, broj 123 se sastoji iz tri cifre. Njegova vrednost se ne dobija sabiranjem te tri cifre već svaka od cifara ima svoju "težinu". Gledano sa desne strane na levo, prva cifra se naziva cifrom jedinica i data cifra se pri formiranju vrednosti broja množi jedinicom. Druga cifra se naziva cifrom desetica i, pri formiranju broja, množi se sa deset. Sledeća cifra se množi sa 100 i tako redom. Na kraju se sve ove pomnožene vrednosti sabiraju.

123 = 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1

Sve ovo što smo radili, bilo je u okvirima dekadnog brojnog sistema (na grčkom, reč "deka", označava broj deset).

Ovaj brojni sistem nije pogodan za korišćenje od strane računara. Računari rade mnogo efikasnije sa podacima koji imaju binarni oblik.

Sisteme brojeva razlikujemo prema njihovim osnovama. Osnova brojnog sistema je broj različitih cifara koje se koriste za zapis brojeva. Neki od brojnih sistema koji su u upotrebi (pogotovo u radu sa računarima) su:

• dekadni (koristi se osnova 10),

• binarni (osnova 2),

• oktalni (osnova 8),

• heksadecimalni (naziva se i „heksadekadni“ – osnova 16).

Npr. u dekadnom sistemu brojeva, koji uobičajeno koristimo, svi brojevi mogu da se predstave pomoću cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Pošto cifara ima ukupno deset, kažemo da je osnova dekadnog sistema brojeva – broj 10.

Računari, zbog svoje konstrukcije, sve podatke i naredbe (u svom pravom obliku, koji je često nevidljiv za čoveka) skladište kao nizove nula i jedinica. Zbog toga je logično i da računar radi sa tzv. binarnim sistemom brojeva. Binarni sistem koristi samo dve cifre, a to su 0 i 1 i njegova osnova je broj 2.

Zašto baš dve cifre?

Razlog za nastanak i korišćenje dekadnog sistema kažu da je bio ukupan broj prstiju na ljudskim šakama. Sa druge strane, računari se sastoje iz mnoštva malih električnih elemenata koji su u stanju da prekidaju (uključuju i isključuju) dovod struje u različitim delovima. Ako je neki deo isključen, njegovo naponsko stanje možemo shvatiti kao "0", a ako je uključen, njegovo naponsko stanje je "1".

Ne postoji način da se brojevi, na računaru, predstave drugačije nego kao pomenuta naponska stanja!

Nula i jedan su takođe cifre binarnog brojevnog sistema, koje, unutar elektronskih kola u procesoru i ostalim delovima računara, odgovaraju pomenutim naponskim stanjima.

Osim binarnog, radi lakšeg zapisa, koriste se još i oktalni (osnova 8) i heksadecimalni (osnova16) sistemi brojeva. Ovi brojevi su takođe pogodni za rad sa računarom, pošto njihove osnove predstavljaju stepen broja 2 (koji je osnova binarnog sistema), pa su tako 8 = 2³ i 16 = 2⁴. Oktalni sistem brojeva koristi cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7, dok heksadecimalni sistem koristi cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F, pri čemu cifre od A do F imaju sledeće dekadne vrednosti:

A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15

Kako bi izgledalo brojanje u ovim sistemima? Pogledajmo primer:

dekadno	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
binarno	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001
oktalno	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20	21
heksadec.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11

Kad brojimo, uvek povećavamo poslednju (najslabiju) cifru. Ako smo „potrošili“ sve cifre, onda se ova cifra postavlja na 0, a sledeća (jača) cifra se povećava za jedan, ako je i ona na maksimalnoj mogućoj cifri, i nju postavljamo na nulu pa povećavamo sledeću itd.

Vrednost broja ...

Vrednost broja u nekom brojnom sistemu dobija se kao zbir ukupnih vrednosti cifara od kojih je sačinjen taj broj. Ukupna vrednost cifre dobija se na osnovu vrednosti same cifre i vrednosti koja zavisi od njene pozicije, odnosno „jačine“ (ili „težine“) cifre. Jačina cifre se računa kao odgovarajući stepen osnove brojnog sistema, a taj stepen zavisi od pozicije cifre.

Pozicije cifara obeležavaju se na sledeći način:

.... (3) (2) (1) (0) , (-1) (-2) .... (-m)

Najvažnije je da primetimo kako se poslednja cifra pre decimalnog zareza označava pozicijom 0. Od te pozicije svaka jača cifra (svaka cifra ulevo – desetice, stotine, hiljade) ima za po jednu jaču poziciju (1, 2, 3...), a svaka cifra posle decimalnog zareza ima po jednu slabiju poziciju (-1,-2, -3... )

Prevođenje broja iz dekadnog u drugi sistem brojeva

Racionalni brojevi, odnosno brojevi koji imaju i celi i decimalni deo, prevode se u dva koraka, tako što se zasebno preračunava celi deo, a zasebno decimalni. Celi deo se prevodi uzastopnim celobrojnim deljenjem sa osnovom brojnog sistema u koji se vrši preračunavanje. Pri svakom celobrojnom deljenju beleže se ostaci koji u stvari predstavljaju cifre novog broja. Razlomljeni deo se konvertuje uzastopnim množenjem sa osnovom brojnogsistema u koji se preračunava i ovde se kao cifre posle decimalnog zareza uzimaju celi delovi dobijenih rezultata

Veza binarnog, oktalnog i heksadecimalnog sistema

Već smo ranije napomenuli da su oktalni i heksadecimalni sistem pogodni za rad sa računarom, budući da su njihove osnove stepeni broja 2 (2³=8 i 2⁴=16), koji je opet osnova binarnog sistema.

Ovo u praksi znači da je prevođenje brojeva iz binarnog u ove sisteme, i obrnuto, veoma jednostavno, skoro i bez računanja. Pogledajmo npr. binarni broj

1101001,1101

Ako grupišemo njegove cifre u grupe od po tri (uvek počinjemo od decimalnog znaka), možemo ga predstaviti na sledeći način (ne zaboravite – ispred broja, kao i posle decimala, možemo slobodno ubacivati nule – one neće menjati vrednost broja):

001 101 001 , 110 100

Svaka od ovih grupa u stvari predstavlja po jednu oktalnu cifru, koju možemo lako izračunati.

Prevođenje brojeva pomoću Windows kalkulatora

Uz operativni sistem Windows dolazi i program Calculator, koji možemo koristiti kao pomoć pri konverziji brojeva iz jednog sistema u drugi. Sledeći primer ilustruje prevođenje broja izdekadnog u binarni.

Sa leve strane kalkulatora se nalazi mogućnost izbora brojnog sistema koji želimo da koristimo. Na tom mestu izaberemo sistem iz koga želimo da preračunamo broj. Izabrali smo dekadni sistem i otkucali npr. broj 742. Posle toga je dovoljno odabrati sistem u koji želimo da prevedemo broj (u ovom slučaju to je binarni). Kalkulator nam odmah ispisuje zadati broj u binarnom obliku, kao 1011100110. Iako konverzija brojeva, koju nam nudi kalkulator, nije u potpunosti funkcionalna (moguća je samo za cele brojeve) i kao takva nam može biti od koristi.